2010年12月13日

【閱讀】數字的迷障(內有考題二題,歡迎來挑戰)

最近讀了二本書都有提到一道數學題,先考考大家:

某癌症檢驗的準確率為90%,而依統計資料顯示,台灣五十至六十歲男性約有千分之一罹患此種癌症,今有一名五十五歲之台灣男性至醫院進行此項檢驗(檢驗過程並無錯誤),為陽性反應。問:該名男性真的罹患該癌症之機率為何?


據書中所說,能答對這題的人相當少,而且某書作者羣曾對英國一羣醫生加以類似的考試,結果答對率遠低於一成。

在往下看之前,請先動腦、動筆想一想答案吧!(我承認,我在第一時間也是答錯的。)

。(這是空白)

















。(空白結束)

上題的答案是約0.89%。

不要懷疑,在題設條件下,你在醫院接受了一項準確率高達百分之九十的癌症篩檢,就算是陽性反應,你真正得到癌症的機率還不到百分之一。

算法如下:

一、以一萬名50-60歲的台灣男性為例,依統計數據,約有千分之一即10人罹患此種癌症,另9990人沒有罹患此種癌症。

二、此癌症篩檢的準確率是90%。因此上述10個罹癌的人中,有9個會驗出陽性反應,1個會驗成陰性反應(偽陰性)。另9990個沒有罹癌的人中,有8991人會驗出陰性反應,另999人會驗出陽性反應(偽陽性)。

三、承上,驗出陽性反應的人總共有9+999=1008人,其中9個是真的罹癌的,另999個是沒有罹癌的(偽陽性)。

四、因此一個被檢驗出陽性反應的患者,其真正罹癌的比率是9/1008=0.0089=0.89%。

(解答結束)

現實世界中,罹癌人口雖然不少,但和總人數相比,比例相當低,往往不到千分之一。因此,在現實世界中,如果到醫院接受癌症檢驗,醫生告訴你是陽性反應,而這個檢驗的準確性是百分之九十時,你大可不必覺得這是世界末日,因為你真正罹癌的機率其實還不到百分之一。

如果這題你答錯了,我建議您可以找如何用數字唬人:用常識看穿無所不在的數字陷阱這本書來看看。相當有幫助!



如果你答對了,請再接受下一題測驗:

你參加某一個益智節目獲得了勝利,可以玩猜猜大獎在那一道門後面的遊戲。總共有A、B、C三道門,你選了A這道門,這時候,主持人打開了B這道門,顯示後面沒有大獎,並給你一個機會,問你是否要更換為C這道門。請問,以追求數學上的中獎機率而言(別說你的幸運符號是A),換或不換才是明智的抉擇,換或不換的中獎機率是多少?或者,兩者的機率根本是一樣的?


這一題能答對的人更少。非常非常非常的少。很多人就算看到了解答也還是不懂。


在往下看之前,請先動腦動筆想一想答案吧!(我承認,我在第一時間也是答錯的。)


。(這是空白)





















。(空白結束)

答案是要換。換成C的中獎機率是2/3,堅持A的中獎機率是1/3,因此你換門的結果,使中獎機率提高了二倍。

我知道,很多人無法接受這個答案。當年,連數學系的知名教授都不能接受這個答案。

解答大致如下:

(我不確定讀者是否看得懂,因為我曾經費盡唇舌解釋,就是有人聽不懂,還說我亂扯、書亂寫。)

一、一開始有A、B、C三道門,你不論選A或B或C,你中獎的機率都是1/3。

二、而你選了A,換言之,大獎在A門後面的機率是1/3,在B門或C門後面的機率是2/3(即1/3+1/3=2/3)。

三、主持人打開了B門,大獎不在B門後面。請注意,這並不是一個隨機的事件,因為主持人他已經知道B門的後面並沒有大獎,所以才打開他。不是隨機的事件,就不能用機率來處理。

四、此時你如果堅持選A門,那你得獎的機率始終是三分之一。如果你選擇了C門,那麼因為主持人介入的關係,你的得獎機率將是B+C的三分之二。

五、結論:你要換,才能提高中獎的機率。

我相信,看完了解答,還是有人不相信這個結論。因為這好像違反了人類的直覺。

不過,如果把題目極端化一些,也許就可以比較清楚。

若此題有一千道門,其中有一道門後面有大獎,你選了其中一道門,中獎機率是千分之一,大獎在另九九九道門後的機率是千分之九九九,今天,主持人在那九九九道門中打開了其中九九八道,只剩下其中一道,問你換不換?

我想,依人類的直覺,應該也會換了吧!

如果你答錯了,建議看看這本醉漢走路 - 機率如何左右你我的命運和機會》


如果你之前並沒有接觸過這個問題,而居然答對了,我只能說你太強了,智商至少有150。小弟在此膜拜頂禮!


茲為記。

14 則留言:

中途島 提到...

第二題有問題。

這裏耍弄的是事前機率與事後機率。然而,A門沒開的情況下,A門與C門機率是一樣,同時上升為各1/2。

我記得凱因斯曾研究這個問題,他的觀點是,在此處,事前機率(A, B, C 機率各佔1/3),與 B門打開後的事後機率(A, C機率各佔1/2),正證明了不存在有客觀機率,因為當你把 C門也打開時,卻發現也是空的時候,A的機率就上昇為1,簡單講,A門後有東西就不再是一個隨機的事件了。

我們所謂的機率,會因為我們所掌握的知識程度之不同而變化,機率本質是主觀的。

小杜白雲 提到...

第二題的答案,經過美國這類型節目多年來的統計資料,己經獲得證實。

換的得獎率確實提高了!

中途島 提到...

這違反機率論的根本原則,太不通了。

如果,B和C都打開,A的機率難道還是1/3?很顯然,B打開的事件必然會影響 A 的機率,就如同 B 和 C 都打開會影響到 A 的機率。

小杜白雲 提到...

重點在於,你選擇了A,機率是1/3。不論主持人後來做了什麼動作,你一開始中獎的機率並不會變。

主持人所為是非隨機事件。非隨機事件會影響到機率的計算。

在一千道門的題目就比較清楚。大獎在你選的門後,機率是千分之一,不在你選的門後,機率是千分之九九九。

如果開獎,這個機率就會顯示出來。

而今主持人打開了九九八道門,無非一種變相的開獎。使得千分之九九九的機率,全部集中到了那扇未開的門後面。

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這是一道很有名的習題《Monty Hall problem》。島兄可以參照。

小國 提到...

第二題是有問題的。確實,因為主持人的介入,所以這不是自然機率。

版主這樣解釋的依據在於:主持人也不知道B門後面有沒有大獎,隨機地打開了B門,開了之後才發現沒有大獎。

問題是,每一次,主持人都會知道B門後面有沒有大獎。換言之,如果B門後面有大獎,主持人一定會開C門(而且沒有大獎)然後再問來賓「要不要換?」

用節目的統計結果來「證明」,當然是不對的。因為主持人並不是每次都隨機地開剩下的二個門,相反地,他每次都是故意開一個沒有獎的門。

小杜白雲 提到...

小國兄:

就是因為主持人知道B門後面沒有大獎才開B門,才會造成這個答案啊!

如果主持人是隨機開的,答案就不是如此了!

我在文章中有寫:

「請注意,這並不是一個隨機的事件,因為主持人他已經知道B門的後面並沒有大獎,所以才打開他。不是隨機的事件,就不能用機率來處理。」

尚請鍳查。

若此疑問難解,何不購入《醉漢走路》一觀呢?所費不過300元耳,尚且網路購書多有打折!

此問題在該書第71-74頁。

如不想買書,依該書的引註,此問題於1959年在〈科學美國人〉期刊上有專文,資料如下:

Martin Gardner,"Mathematical Games",Scientific American,october 1959,pp180-182.

中途島 提到...

既然不能用機率處理, 所謂 A 的 1/3, C 的機率 2/3, 根本是不成立的.

小杜白雲 提到...

說說第二題的歷史故好了。

1963-1976美國的著名電視益智節目《來做個交易吧》中常常玩這個遊戲。主持人是Monty Hall ,所以此題又被稱為《Monty Hall problem》。

在《遊行》(parade)雜誌中的「請問瑪麗蓮」專欄中,瑪麗連在某一期提出了這個問題,並作出了解答。

問答內容即如本文中所述。

瑪麗蓮.瓦.凡莎是金氏世界紀錄最高智商的紀錄保持者,IQ高達228。

這份解答發表後,瑪麗蓮收到了超過一萬份的信件指責她搞錯了,其中有超過一千個博士,還有許多數學教授。

事後還作過民調,有百分之九十二受訪的美國人認為瑪麗蓮錯了。

連二十世紀最重要的數學家之一艾狄胥(Paul Erdos)都認為不可能。即使看到了數學的解,還是不相信。最後,他一名同事以電腦模擬跑了幾百個數據,其結果就是換的勝算是2/3。艾狄胥才承認自己錯了。(此事的引註我就懶得再打英文了)

數學家艾狄胥的資料如下:
http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s

瑪麗蓮在收到一萬封信之後,為文數十次解釋,爭議不絕,她最後就決定不回應了。

我想,就此題我可能也無法再做回應。因為我的智商差228非常之多,可能再也想不出更好的解釋方法了。

小杜白雲 提到...

如果對此有意深入研究,網路上還是英文資料比較詳盡,請參照囉!

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

小杜白雲 提到...

也許可以這麼想:

我們以「空一」、「空二」、「大獎」來代表三道門後面的情形。

你一開始選擇的情形只有三種:「空一」、「空二」、「大獎」。

(主持人知道大獎在那一道門後面,所以他不會打開大獎那道門)

1.如果你選了「空一」,主持人打開「空二」,你換了,能得「大獎」。

2.如果你選了「空二」,主持人打開「空一」,你換了,能得「大獎」。

3.如果你選了「大獎」,主持人打開「空一」或「空二」(隨他高興),你換了,就得不到「大獎」。

因此,換的話有二個得獎機會,不換則只有一個,比率是2/3對1/3。

中途島 提到...

最後這個解釋有道理。

和 Erdös 犯一樣的錯,我很榮幸。

BB 提到...

第二題 看了答案 認真想了一陣才通
題中 假設開獎流程固定
則參加者有三種策略
第一:一開始選定後"不論如何不再換門",此策略中獎率1/3。
第二:主持人開了一空門後,一律"重新隨機選擇"此策略中獎率1/2。
第三:主持人開了一空門後,一律"換門"此策略中獎率2/3。
我中的陷阱是,站在第一次參賽者的角度看這題,很容易陷在第二種策略情況中,一般參賽者不會參加一次以上比較難重整體積率看這題。

BB 提到...

跟版主抱歉 ><...,自改錯字:
比較難 "重" 整體 "積" 率看這題 -> "從" "機"

faintglow 提到...

兩題我都對耶.

第一題若不是格主提醒, 我就會直接回答錯誤的答案了.

不過我認為我智商不到 150, 以前測也沒有. 只是喜歡動腦而已.